Further Integration · 笔记示例

模板结构：考纲对照 → 概念讲解 → 关键公式 → 例题 → 常见错误 → 关联真题。

1. 考纲要点

掌握降幂公式（reduction formula）、弧长与旋转体表面积的积分，以及利用极限求面积。

降幂递推示例：

$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \,\mathrm{d}x = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$

曲线 $y=f(x)$ 从 $x=a$ 到 $x=b$ 的弧长：

$s = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2}\,\mathrm{d}x$

绕 $x$ 轴旋转所得曲面面积：

$S = 2\pi \int_a^b y\,\sqrt{1 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2}\,\mathrm{d}x$

求 $\displaystyle\int x^2 e^{x}\,\mathrm{d}x$ 。使用分部积分，结果为 $(x^2 - 2x + 2)e^{x} + C$ 。